Was ist die Zeit? 

Mit einem Anhang zum mathematischen Kontinuum 

von Dörte Gunderson
 

 
  


 

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(c) Sic et Non - Forum for Philosophy and Culture (2002) - http://www.cogito.de/sicetnon/artikel/historie/zeit.htm

Zusammenfassung

Definiert Heidegger Sein als die Lichtung des Seienden im Menschen, so definiere ich analog und abweichend das Währen als die Lichtung des Währenden im Menschen, denn nach meiner Auffassung ist alles Seiende Währendes. Das Messen des Währens entspricht unserer Zeitmessung. Das Währen ist aber noch nicht mit unserer Zeit gleichzusetzen. Wie sich nach Heidegger im Kunstwerk Wahrheit ereignet und das Kunstwerk Wahrheit ereignet, ereignet sich im Leben des Menschen Zeit, ereignet das Leben des Menschen Zeit.

Abstract

As Heidegger defines being to be the lightening of existing entities in human beings, so I define in analogy and divergently enduring to be the lightening of enduring entities in human beings, because I stress that everything being is enduring. The measure of enduring is what we usually call time measurement. But enduring is not to be equated to time. Just as, according to Heidegger, in a work of art truth happens, and a work of art produces truth, I declare, that in human life time happens and that life of human beings makes time.

 

1             Einleitung

Was ist die Zeit? Wenn ich hier versuche, eine Antwort auf die Frage nach dem Wesen der Zeit zu geben, so soll das, was wir schon immer vorurteilsfrei über die Zeit wussten, eingeschlossen werden. Gemäss Heidegger wird methodisch atheistisch vorzugehen sein, d.h. man wird sich nicht mit der Antwort, dass Gott als Schöpfer der Welt und seiner selbst auch die Zeit schuf, zufrieden geben.

Ich selbst bin einerseits der konstruktiven Mathematik, auch in der Ausprägung des Intuitionismus, verpflichtet, andererseits der Philosophie Heideggers, die den auf dem Selbstbewusstsein basierenden Ansatz der Philosophie, wie z.B. Kant und Husserl ihn vorlegten, unterlaufend das Fundament tiefer legt. Ich werde meine Überlegungen weitgehend parallel zu den Heideggerschen darstellen, allerdings den Heideggerschen Ansatz modifizieren.

Wenn man ihn nicht frage, was die Zeit sei, so wisse er es, frage man ihn aber, so wisse er es nicht, äußerte schon Augustinus (354-430). Wenn Augustinus feststellt, dass wir genau wissen, was wir meinen, wenn wir von Zeit sprechen, so wäre damit die Bedeutung des Begriffes Zeit für Wittgenstein erschöpft.  Was ist die Zeit? ist nach Wittgenstein keine sinnvolle Frage. Die Verwendung des Wortes Zeit beherrscht nach Wittgenstein derjenige, der den Ausdruck in allen möglichen Kontexten richtig verwendet und versteht. Wenn wir weiterhin die Was-ist-Frage stellen, so sind wir nach Wittgensteins Meinung von einem falschen Analogiebild verführt anzunehmen, hinter dem Ausdruck Zeit verberge sich eine Entität wie hinter dem Ausdruck Pferd. Nun bin ich allerdings der Auffassung, dass niemand  hinter dem Ausdruck Zeit einen konkreten Begriff wie den des Pferdes vermutet, sondern eher einen Begriff wie den der Zahl, die, wie unten dargelegt, durchaus definierbar ist.

 Die Frage nach der Zeit ist für alle gegenwärtige und künftige Philosophie zentral.

Naiv betrachtet findet man die Zeit einmal draußen bei den Sternen und Uhren und einmal in sich selbst als Zeitempfinden. Das zeigt erstens das Zusammengehören von Welt und Mensch und zweitens die Fundamentalität dieses Begriffs.

2             Alles Seiende ist Währendes

Nach Heidegger können wir darüber, was das Seiende sei, nicht mehr frei verfügen, denn schon die Griechen definierten das Seiende als das Anwesende. Seiendes kann sein Zuhandenes oder Zeug, Vorhandenes, Pflanzen, Tiere, Mensch oder ideales Seiendes. Betrete ich meine Küche, so bin ich fast nur von Zeug umgeben. Diese Schublade dient u.a. zur Aufbewahrung des Kartoffelschälmessers, das Messer zum Schälen der Kartoffeln, Herd, Topf und Wasser dienen zum Kochen der Kartoffeln, die fertige Speise ist umwillen des Menschen. Es gibt in meiner Küche auch Vorhandenes wie die Luft, den Himmel, den ich durch das Fenster erblicke. Der Mensch, das Dasein, ist nach Heidegger dadurch gekennzeichnet, dass es ihm in seinem Sein um dieses selbst geht.

Als Beispiel für ideales Seiendes gebe ich die Zahl. Nach konstruktivistischer Auffassung existieren mathematische Entitäten wie die Zahl nur, solange sie vom Menschen konstruiert und verstanden sind. Auch das Wesen Einhorn existiert nur so lange, als die Menschen Geschichten über das Einhorn erzählen. Ideales Seiendes existiert nicht an einem platonischen Himmel, sondern soweit es vom Dasein geschaffen ist. Es besitzt die Existenzweise des Daseins und existiert nur, sofern und soweit Dasein existiert.

Ich behaupte, alles Seiende sei Währendes. Es gibt kein echtes Momentfoto. Alles fließt. Man kann einen Zustand nicht festhalten, auch nicht für methodische Überlegungen. Existierte ein Seiendes nur in einem dimensionslosen Zeitpunkt, eine Auffassung, die, wie später zu zeigen sein wird, widersinnig ist, so existierte es für das Dasein nicht. Als Beispiel möchte ich das grüne Leuchten anführen. Wenn in südlichen Gefilden der letzte Sonnenstrahl der ins Meer versinkenden Sonne ins Auge des Betrachters fällt, so ist dieser Strahl grün, denn in der Atmosphäre wird durch Brechung auch der letzte Strahl in seine Spektralfarben zerlegt , und während das blaue Licht gestreut wird (Himmelsbläue), gelangt der am zweitstärksten gebrochene grüne zuletzt ins Auge. Dies ist zu beobachten, weil es während des Bruchteils einer Sekunde anwährt. Ich behaupte also, alles Seiende sei Währendes. Entgegen dem Beispiel möchte ich Währendes aber nicht in Zeitliches und Seiendes zerlegen, sondern als unzerlegbaren Begriff betrachten.

Definiert  Heidegger das Sein als die Lichtung des Seienden im Menschen , so definiere ich die Lichtung des Währenden im Menschen als Währen. Das Dasein ist der Ort der Lichtung.

Bezeichnet man wie die Griechen das Seiende als Anwesendes, so ist natürlich auch die Zeit enthalten, nämlich die Gegenwart. Dies ist sogar in Übereinstimmung mit dem Währenden, sofern man der Gegenwart eine Erstreckung und eine Richtung zuordnet, wie später ausgeführt wird. Auch Heidegger sieht diesen Zusammenhang mit der Zeit von vornherein, indem er das Sein vor dem Horizont der Zeit betrachtet, d.h. den Sinn von Sein als Zeit voraussetzt. Ich möchte Sein und Zeit nicht erst als zwei unterschiedliche Entitäten betrachten, denn dann ist es schwer, sie wieder zu verschmelzen. Das Währen ist noch nicht die Zeit. Auch bei mir ist das Währen als Lichtung des Währenden im Menschen an den daseinsmäßig existierenden Menschen und nicht allein an den veränderlichen Ablauf des Seienden gebunden.

3             „Zeit“-Messung

Das Währen setze ich nicht gleich mit der Zeit, die später zu definieren sein wird. Währendes wie Tiere, Bäume, Steine, sich umkreisende Sterne, also reales Währendes kann es auch geben ohne Dasein; ideales Währendes ist allerdings an die Existenz des Menschen gebunden. Währen gibt es nur, sofern und solange es Menschen gibt. Etwas währt kurz, oder es währt lang: Währen lässt sich messen gemäß der Augustinschen Ansicht, die Zeit werde im Geist gemessen. Dieses Messen des Währens ist das, was wir gemeinhin unter Zeitmessung verstehen. Zum Messen einer physikalischen Größe bedarf es einer Einheit und eines Messverfahrens. Beides liegt bekanntlich vor; als natürliche Einheit nehme man den Tag, der durch die Rotation der Erde um ihre Achse bestimmt ist, oder das Jahr als Umlaufzeit der Erde um die Sonne. Messgeräte sind Kalender und Uhren. Währen antwortet auf die Frage „Wie lange“, aber auch auf die Frage „Wann“. Wann wurde Karl der Große zum Kaiser  gekrönt? 800 n.Chr. Geburt meint, dass 800 Jahre zwischen Christi Geburt und der Krönung verstrichen. Wann werden wir uns treffen? Um 16 Uhr meint 16 Stunden nach Mitternacht.

4             Henri Bergson

Henri Bergson (1859-1941) erhielt den Nobelpreis für Literatur für sein philosophisches Werk Zeit und Freiheit. Er lebte während der deutschen Besatzung als Jude in Paris. Da er keine privilegierte Behandlung durch die Besatzer wollte, stellte er sich selbst nach Nahrungsmitteln an, wobei er sich erkältete. Bergson starb an den Folgen.

Bergson ist Vertreter der Lebensphilosophie. Ich lebe - also bin ich ist der nicht hinterfragbare archimedische Punkt dieser Philosophie. Durch Intuition ist der Mensch nicht nur seiner eigenen Existenz gewiss, sondern auch der Existenz der anderen Lebewesen. Alle Lebewesen sind durchflutet vom élan vital, dem Lebensschwung. Sein ist unwichtig, Werden ist wesentlich. Das Leben auf der Erde bringt immer neue Formen hervor, es entfaltet sich schöpferisch. Es ist weder materiell determiniert wie die unbelebte Materie im Raum, noch im Sinne des Vitalismus teleologisch bestimmt. Auch der Mensch ist frei. Bergson versucht nicht, die Freiheit des Menschen zu beweisen. Der Mensch handelt nach Bergson dann frei, wenn seine Handlungen aus seiner ganzen Persönlichkeit hervorgehen, also weder direkt fremdbestimmt, noch durch Erziehung oder andere Einflüsse bedingt sind. Der Mensch kennt sich intuitiv als frei. Diese Freiheit schließt schöpferische Tätigkeit ein. Wenn eine Tat durch ein Motiv hervorgerufen ist, so ist das für ihn ein Beleg für die Freiheit des Menschen.

Bergson unterscheidet zwei verschiedene Zeiten: le temps, die physikalische Zeit, die bei Bergson die Projektion der wahren Zeit in den Raum ist, und die wahre Zeit, la durée, die den Menschen zum freien Wesen macht. Die wahre Dauer ist heterogen, fließend, rein qualitativ, einmalig, unwiederholbar.

Das größte Verdienst Bergsons ist es nach meiner Ansicht, dass er die Zeit von der Verarmung befreit hat, die sie in der Physik erfahren hat. Die erlebte Zeit ist viel reicher als die physikalische Zeit, die aus ausdehnungslosen Jetzt-Punkten besteht, die nicht erlebt werden können.

Bergsons le temps ist ein lineares Kontinuum, das allerdings im Gegensatz zum Raum gerichtet ist. Die Richtung erhält sie durch Festlegung des aktuellen Jetzt-Punktes und Auszeichnung von Vergangenheit und Zukunft; physikalisch ist die Richtung durch Zunahme der Entropie gekennzeichnet. Das Jetzt ist ausdehnungslos; es ist für den Menschen nicht erfahrbar. Bei kosmischen und atomaren Ereignissen ist dieser Zeitbegriff zu relativieren als vierte Koordinate im Minkowskischen Raum-Zeit-Kontinuum.

La durée , die Dauer, bezeichnet die erlebte Gegenwart. Da ein punktuelles Jetzt für den Menschen nicht erlebbar ist, ist die erlebte Gegenwart immer ausgedehnt. Kennzeichnend für die erlebte Gegenwart ist, dass die ineinander verflochtenen Vorstellungen, die sich auf Vergangenes, Gegenwärtiges, Zukünftiges beziehen können, durch das begleitende „ich lebe“ zu einer unauflösbaren Einheit werden. Es ist unangemessen, diese Einheit zerlegen zu wollen.

Ein Beispiel dazu von mir. Lauscht man einer Melodie, so kann man in einem Moment der Dauer, während ein Ton erklingt und man die vorhergehenden Töne noch im Ohr hat und schon auf die zukünftigen in Erwartung gespannt ist, die Gesamtmelodie überblicken.

 Es ist unangebracht, bei der erlebten Gegenwart zu fragen, wie lange sie gedauert habe, d.h. die vorgestellte abgelaufene Uhrzeit dem Erlebnis zu unterlegen, da es sich um zwei sich ausschließende Aspekte der Zeit handelt.

Da le temps bei Bergson eine Projektion der wahren Dauer in den Raum ist, schließt Bergson folgerichtig, dass Zeitmessung Raummessung sei. Dies ist von Heidegger widerlegt worden. Physikalische Größen lassen sich messen, wenn man eine Einheit festlegt und ein Messverfahren angeben kann, was bekanntlich für die Zeit zutrifft.

Da nach Bergson der Begriff der Zahl an den Raum gebunden ist, müssen folgerichtig alle Größen, die gemessen werden sollen, in den Raum projiziert werden. Bergson vertritt die Auffassung, man müsse die Schritte, die man hört, erst räumlich vorstellen, bevor man sie zählen kann. Ich meine, dass die Zahl nicht an den Raum gebunden werden muss. Höre ich den Kuckuck rufen, so kann ich feststellen, „wie alt ich noch werde“, indem ich synchron mit den Kuckucksrufen die akustisch auswendig gelernten natürlichen Zahlen aufsage, ohne sie in einem symbolischen Raum darzustellen.

Bindet Bergson die Zahl an den Raum, so bindet der intuitionistische Mathematiker Brouwer die Zahl an die Zeit.

 Ich vertrete die Auffassung, primär existiere die Zahl, die dann zum Messen verwendet werden kann. Dabei werden der gemessene Raum, die gemessene Zeit naturgemäß ärmer als die erlebten  Entitäten. Zur Konstruktion der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen verweise ich auf  Lorenzen, die reellen Zahlen würde ich über die Brouerschen Wahlfolgen definieren, wie später auszuführen sein wird.

5             Die Zeitlichkeit bei Heidegger

Das Dasein ist bei Heidegger gekennzeichnet durch die Sorge: es ist sich-vorweg-immer-schon in einer (bedeutungsgeladenen) Welt als Sein-bei innerweltlich begegnendem Seienden. Die Einheit der Ekstasen des Sich-vorweg als Zukunft, des Immer-schon als Gewesenheit, des Sein-bei als Gegenwart nennt Heidegger Zeitlichkeit. Sie ist Grundlage nicht nur für das Daseinsverständnis, sondern für das Seinsverständnis überhaupt (Horizont des Seins) und wird deshalb auch ursprüngliche Zeit genannt. Die Zeitlichkeit ist der Grund für die Sorge. Gleichursprünglich mit dem Menschen als Dasein existiert die Welt mit ihren Bedeutungen, Verweisen, Bezügen, bei der der Mensch immer schon ist: der Mensch ist durch Transzendenz gekennzeichnet im Sinne des über sich Hinausschreitens, allerdings nicht in eine jenseitige, sondern in eine diesseitige Welt.

Die ursprüngliche Zeit besitzt nach Heidegger die Eigenschaften der Datierbarkeit, Gespanntheit, Öffentlichkeit, Bedeutsamkeit. Die vulgäre Zeit, abkünftig aus der ursprünglichen Zeit, besteht nach Heidegger aus in gewisser Weise vorhandenen dimensionslosen Jetzt-Punkten. Bei der vulgären Zeit, die der physikalischen Zeit entspricht, gehen die Eigenschaften der Datierbarkeit und Bedeutsamkeit verloren; auch die Gespanntheit ist nach Heidegger unverstanden. Das Fehlen der Gespanntheit stellt einen schwerwiegenden Mangel dar.

Dieser Mangel ist aber dadurch zu beheben, dass man, wie ich es vorschlagen werde, Jetzt-Punkten eine wenn auch noch so kleine Erstreckung gibt.

Die ursprüngliche Zeit Heideggers entspricht der Dauer Bergsons, die vulgäre Zeit entspricht der gemessenen Zeit Bergsons. Heideggers Zeitlichkeit  als Sichvorweg-Immerschon-als Seinbei enthält zunächst keine Erstreckung und auch keine Richtung, wenn man die Ausdrücke Zukunft, Gewesenheit, Gegenwart nicht inhaltlich interpretiert. Sagt man stattdessen A-B-C, so hat man als Einheit ein rein logisches Geflecht. Man muss die Begriffe erst mit Leben füllen. Die Zeitlichkeit des zukünftig gewesenen ( auch: gewesenden) eigentlichen Gewesen-seins [1] (Wiederholung) ist nach Heidegger erstreckt. Während, Jetzt, Dann, Damals sind  erstreckt:

Das gewärtigend-behaltende Gegenwärtigen legt nur deshalb ein gespanntes >während< >aus<, weil es dabei sich als die ekstatische Erstrecktheit der geschichtlichen Zeitlichkeit, wenngleich als solche unerkannt, erschlossen ist. [2]

Auch bei Heidegger ist die Zeitlichkeit des Daseins also der Grund für das Währen.

Ich werde im folgenden die Erstreckung und Richtung gleich in die Definition hineinnehmen: der Mensch entwirft sein Leben aus einer Welt im gestreckten gerichteten Jetzt.

Damit verhalte ich mich gemäß dem Prinzip der Intuitionisten, alles, was noch irgendwie evident ist, zu akzeptieren im Gegensatz zur verbreiteten ästhetischen Auffassung in der Mathematik, mit möglichst wenig Voraussetzungen auszukommen, die ich für unangemessen halte.

6             Die Zahl- der Punkt- das Jetzt

6.1      Die Zahl

Ich vertrete die Auffassung, dass die Zahl weder notwendig auf der Zeit noch notwendig auf dem Raum basiert, abgesehen davon, dass sich alle Aktivitäten des Menschen in Raum und Zeit abspielen. Insofern als die Zahlen ein Gemächte des Menschen sind, existieren sie auch nur, solange Dasein anwest. Zur Vermittlung des Zählens, der Zahlen, der Mathematik bedient man sich allerdings der Sprache und der Symbolik in Raum und Zeit.

Wie führt man die Zahlen am besten ein? Mein Vorschlag ist, die natürlichen sowie die rationalen und ganzen Zahlen konstruktiv nach Lorenzen einzuführen. [3] Damit entgeht man Antinomien und verhindert ad-hoc-Axiome zur Vermeidung derselben. Ich schlage vor, die reellen Zahlen über Wahlfolgen nach Brouwer einzuführen. Beschränkt man sich auf die nicht gesetzmäßig bestimmten und damit auf  die nicht vorherbestimmten Wahlfolgen, so sind die Zahlen nach endlich vielen Schritten nicht festgelegt, aber bei Fortführung des Erzeugungsprozesses, der auch ein Zufallsprozess wie Würfeln sein kann oder von einem bisher ungelösten Problem der Mathematik abhängen kann, beliebig genau bestimmbar. Definiert man jetzt z.B. die Punkte des Einheitsintervalls über Wahlfolgen, so sind diese durchaus erstreckt, aber beliebig genau lokalisierbar. So ergeben z.B. die Anfangsstücke

0,...

0,3...

0,36...

0,363...

0,3639...

.....

ineinandergeschachtelte Intervalle, deren Längen gegen Null konvergieren.

6.2      Der Punkt

Was ist ein Punkt? Das Einfachste wäre es, eine Bleistiftspitze ins Papier zu drücken und die Markierung als Punkt zu bezeichnen. Leicht weist man andere Punkte auf wie beispielsweise eine Ecke des Zimmers. Welche materiellen Gebilde man als Punkte, welche hingegen als Löcher, Kreideanhäufungen, Flächen etc. anspricht, hängt vom Kontext ab. So wird man im allgemeinen im Geometrieunterricht den Einstich des Zirkels im Heft oder die Mitte eines gezeichneten kleinen Kreuzes als Punkt ansprechen. Orientieren wir uns am Nachthimmel, so erscheinen die Sterne als Punkte.

Stellt man die Frage, ob die genannten Gebilde wirklich Punkte seien, so beantworten die meisten Menschen die Frage verneinend, weil sie die Dimensionslosigkeit des Punktes fordern. Man könnte gegen die oben angeführten Beispiele für Punkte einwenden, dass eigentlich ein Stern gar kein Punkt sei und auch nicht der Bleihaufen auf dem Papier; man nehme im letzten Fall eine Lupe, ein Mikroskop zu Hilfe. Nach dieser Auffassung gibt es Punkte nicht in unserer Umwelt. Dedekind bezeichnete Punkte als Gedankendinge, von denen wir uns Modelle machen.

Man kann den Begriff des Punktes nicht festlegen, indem man ihn auf noch einfachere Begriffe zurückführt; definiert man den Punkt beispielsweise als Schnitt zweier Geraden, so ergibt sich für den Begriff der Geraden dieselbe  Problematik. Man stellt fest, dass der Begriff des Punktes nicht isoliert auftritt. Er tritt stets im Zusammenhang mit Begriffen wie Linie, Gerade, Ebene, Raum, „liegt auf“, „liegt zwischen“ etc. auf. Der Begriff des Punktes lässt sich, wenn überhaupt, nur im Zusammenhang mit anderen Begriffen festlegen. Dies führt zur axiomatischen Methode. Die Begriffe werden implizit durch die für sie gültigen Relationen definiert. Man spricht nach Husserl von definiter Mannigfaltigkeit. Ein Axiomensystem ist widerspruchsfrei, wenn es ein Modell besitzt.

Das Hilbertsche Axiomensystem zur Definition der oben genannten Begriffe ist auch erfüllt, wenn man Punkte durch Kugeln, Geraden durch Röhren und Ebenen durch planparallele Platten ersetzt, jeweils mit passenden Durchmessern. Die Relation „liegt auf“ entnehme man der Anschauung. Diese Modelle machen deutlich, dass der Dimensionsbegriff für die Definition der geometrischen Grundbegriffe von sekundärer Bedeutung ist. Es kommt vielmehr auf die Beziehungen, auf die implizite Struktur an. Das meint auch Hilbert, wenn er sagt, statt Punkt, Gerade, Ebene hätte er auch Bierseidel, Bank, Tisch oder Schornsteinfeger, Liebe, Gesetz sagen können.

Frege betont, dass kein Axiomensystem auf konkrete Erläuterungen und guten Willen des Betrachters verzichten könne. Die Konstruktivisten nehmen Freges Kritik wieder auf. Lorenzen kritisiert, dass die formalen Axiomensysteme auch nicht-konstruktive Modelle zulassen. Ferner vermisst er die Evidenz der Axiome. Auch nach Thiel [4] liefern die axiomatischen Theorien nicht Begründungszusammenhänge, sondern Formen möglicher Begründungszusammenhänge. Nach seiner Auffassung  müssen zuerst die Begründungen, d.h. die Modelle, gegeben werden. Erst anschließend ist die Formalisierung durch Axiomatisierung zulässig. Der Konstruktivismus wendet sich also gegen die Auffassung, durch ein abstraktes Axiomensystem seien mathematische Entitäten definiert, die möglicherweise noch als bedeutungslose Zeichen interpretiert werden. Das Wesentliche ist das konkrete Modell.

Die Schlussfolgerung ist, dass es vom Kontext abhängt, welche Dinge man als Punkte bezeichnet. Verabredet man als Treffpunkt die Ostseite des Doms, so wird das zweckvoll sein. Orientiert man sich am Nachthimmel, so wird der Polarstern als Orientierungspunkt hinreichen. Auf die Dimensionslosigkeit lässt sich verzichten. Wichtig ist jedoch, dass sich ein Punkt beliebig genau angeben lässt. Dies ist auch im Sinne von Brouwer.

6.3      Das Jetzt

In der physikalischen Zeit, die Heidegger vulgäre Zeit nennt, ist das Jetzt dimensionslos. Bei dieser Auffassung lassen sich Antinomien formulieren, z.B. die Zenonsche Antinomie vom fliegenden Pfeil. Ein fliegender Pfeil ruht in jedem dimensionslosen Zeitpunkt seines Fluges in einem dimensionslosen Raumpunkt. Folglich ruht er auch im Ganzen. Dieser Antinomie entgeht man, wenn man dem Jetzt außer der Richtung eine Erstreckung zuordnet. Das Gleiche gilt nach meiner Meinung für Raumpunkte. Ordnet man einem dimensionslosen Jetzt eine Richtung zu, so ist nach meiner Auffassung schon der umgrenzende Raum einbezogen, da sonst eine Richtung nicht sinnvoll wäre. Das gerichtete Jetzt ist ein Schritt zum erstreckten Jetzt.

Heidegger schildert eindringlich, wie aus der ursprünglichen Zeit durch Abstraktion die vulgäre Zeit wurde. Dieser Prozess ist nicht umkehrbar, weil eine Nivellierung eintritt, indem beispielsweise aus einer endlichen Zeit eine unendliche Zeit wurde, weil die Jetzt immer weiter gehen, wobei es sich nach meiner Meinung allerdings um eine potentielle Unendlichkeit handelt.

Mein Vorschlag ist, dem physikalischen Jetzt die aristotelische Erstreckung zurückzugeben. Das Gleiche fordere ich für den Punkt.

Ansonsten finde ich den von Heidegger beschriebenen und bedauerten Abstraktionsprozess sinnvoll, wie am Beispiel der Bedeutsamkeit ersichtlich: „Wenn es tagt“ kann für den Bauern die Zeit zum Melken, für den Schichtarbeiter die Zeit zum Schlafen sein. Dem erstreckten Augenblick Bergsons wäre damit auch eine gewisse Rechtfertigung gegeben. La durèe, die Dauer, bezeichnet die erlebte Gegenwart. Da ein dimensionsloses Jetzt für den Menschen nicht erlebbar ist, ist die erlebte Gegenwart immer gedehnt. Kennzeichnend für die erlebte Gegenwart ist, dass die ineinander verflochtenen Vorstellungen, die sich auf Vergangenes,  Gegenwärtiges, Zukünftiges beziehen, durch das begleitende „ich lebe“ zu einer unauflösbaren Einheit werden. Es ist unangemessen, diese Einheit zerlegen zu wollen, schon gar nicht im Sinne der physikalischen Zeit. Betrachtet man ein Gemälde, so kann sich in einem Moment der Dauer das Gesamtbild erschließen, die Details sowie die Details in Relation zur Gesamtkonstruktion. Es ist unangebracht, bei der erlebten Gegenwart zu fragen, wie lange sie gedauert habe.

Sein erschließt sich für den Menschen immer nur als zeitliches Sein. An die Stelle der Ewigkeit tritt im Sinne einer Säkularisierung die erlebte Gegenwart. Ein Vers Goethes gibt das deutlich wieder:

Dann ist Vergangenes beständig,
Das Künftige voraus lebendig-
Der Augenblick ist Ewigkeit.
[5]

Die Richtung der Zeit ist  in der Physik vom Früher zum Später, in Richtung zunehmender Entropie, von der Geburt Cäsars zu seinem Tod gerichtet. Für Augustinus wie für Heideggers vulgäre Zeit fließt die Zeit aus der Zukunft in die Vergangenheit. Gottfried Keller [6] schreibt in einem Gedicht, die Zeit stehe still, wir zögen durch sie hin. Ich empfinde mich eher als mit der Zeit schwimmend gemäß dem Spruch

Eins-zwei-drei!

Im Sauseschritt läuft die Zeit,

wir laufen mit. [7]

Ist diese unterschiedliche Richtung vielleicht doch mehr als eine Standortsache? Macht vielleicht der Mensch  wie auch die anderen Lebewesen wie auch die sich umkreisenden Sterne, das expandierende Weltall die Zeit? Dazu schreibt Heidegger [8] : Die Zeit ist kein Gemächte des Menschen, der Mensch ist kein Gemächte der Zeit. Es gibt hier kein Machen.

Nach der Kehre will Heidegger einfach von Sein und Zeit sagen, ohne den phänomenologischen Weg über das Dasein noch einmal zu gehen: Das Ereignis reicht Zeit, schickt Sein. Einerseits ist dieser Weg nicht ohne den voraufgehenden phänomenologischen Aufweis möglich, andererseits erübrigt sich dieser Weg für meinen Ansatz.

7             Die Gottesstunde

Im folgenden gebe ich meine eigenen Überlegungen. Der Mensch ist frei. Im gegenwärtigen gestreckten Augenblick entwirft er die Zukunft. Er gestaltet die Zeit.

 Immer die gegenwärtige Stunde, das ist die Gottesstunde, das ist das Stück Ewigkeit, das um Gestaltung ringt in Dir durch Dich. (Hölderlin)

Bei Heideggers vulgärer Jetzt-Zeit kommt die Zukunft auf den Menschen zu; dem Menschen fällt bezüglich der Zeit also eine relativ passive Rolle zu.

 Die Zeit geht nicht; sie stehet still. Wir ziehen durch sie hin.

Bei diesem Keller-Gedichtsanfang wird die Zeit wie ein gegebener Weg durch den Raum betrachtet, den wir beschreiten. Woher wissen wir überhaupt, dass es eine Zukunft gibt? Weil wir sie gestalten. Ein Maulwurf gräbt sich einen Gang, Erde hinter sich werfend. Der hinter ihm liegende Weg liegt vor, aber kein vor ihm liegender. Der Maulwurfsgang ist vergleichbar dem Leben des Menschen: die Zukunft liegt nicht vor, sie wird erst gestaltet und mehr als das: geschaffen

Der Mensch weiß um seinen Tod, glaubt möglicherweise nicht an ein Weiterleben im Jenseits. Er weiß auch, dass er die Zeit nicht anhalten kann: nur in der Marmorplastik sind die ewig Liebenden bewahrt, nur das Gemälde zeigt die immerwährende Schlacht. Hält man zu lange den Atem an, so besteht die Gefahr, dass die Zeit wirklich stehen bleibt, weil man stirbt.  Es bleibt der gedehnte Augenblick, der im Sinne einer Säkularisierung die Attribute der Ewigkeit und Gottesstunde erhält, den man genießt, in dem man schöpferisch die Zukunft gestaltet oder den man im Status der Uneigentlichkeit verschläft. Die Gottesstunde bezieht sich auf den Menschen als eines schöpferischen bzw. weil  in ihm ein schöpferisches Wirken stattfinden kann.  Man kann sein Leben verlängern, indem man etwas schafft als Künstler, Wissenschaftler, Politiker, Städteplaner, Eltern usw.

8             Definition der Zeit

Übersicht:

1. Das Kunstwerk ereignet Wahrheit. Wahrheit ereignet sich im Kunstwerk.

2. Gutes Handeln ereignet Ethik. Ethik ereignet sich im guten Handeln.

3. Dasein ereignet Zeit. Zeit ereignet sich im Dasein.

 

Zu 1. Das Wesen der Kunst ist nach Heideggers Kunstwerkaufsatz [9] das Sich-ins-Werk setzen der Wahrheit als Schönheit, Wahrheit im Sinne der Unverborgenheit interpretiert. Der Genitiv ist zugleich genitivus subiectivus und genitivus obiectivus. Das bedeutet erstens, dass das Kunstwerk Wahrheit erzeugt und zugleich, dass die Wahrheit im Kunstwerk zum Scheinen kommt. Aktiv und  Passiv sind aufgehoben. Heidegger betont, dass die Wahrheit dabei aber nicht irgendwo in den Sternen vorhanden sei. Mit meinen Worten: Wahrheit ereignet sich im Kunstwerk; dabei ist die Wahrheit nicht als schon vorher am platonischen Himmel existierend gedacht. Im Kunstwerk kommt Wahrheit zum Scheinen. Nach Heidegger ist die Zerlegung des doppelten Genitivs in die zwei angegebenen Aussagesätze allerdings ungemäß.

 

Zu 2. Dieser von Heidegger geschilderte Zusammenhang zwischen Wahrheit als Schönheit und Kunstwerk lässt sich m.E. auch auf die Ethik und das gute Handeln übertragen. Ethik besteht nicht in der Befolgung gegebener Gesetze, auch nicht im Denken der Gesetze, sondern erst im gütigen Handeln:

Gutes Handeln ereignet Ethik. Ethik kommt ins Scheinen im guten Handeln.

Ein Schritt zu dieser Interpretation der Ethik stellt Kants kategorischer Imperativ dar. Auch Morgenstern rekurriert auf das Handeln: Es gibt nichts Gutes, außer man tut es. Im gütigen Handeln wird Ethik enthüllt.

 

Zu 3. Wenn wir leben, ereignen wir Zeit; die Zeit ereignet sich im Dasein. Die Zukunft  existiert nämlich noch nicht. Woher wissen wir, dass es eine Zukunft gibt? Weil wir sie  gestalten. Im Tod, unfreiwillig oder freiwillig, hört der Mensch auf, Zeit zu ereignen, es ereignet sich im Menschen keine Zeit mehr. Nur im Leben gibt es Zeit.

Auch in dem Hölderlin-Zitat sind Aktiv und Passiv aufgehoben: in Dir durch Dich. Es sei aber noch einmal betont, dass in der Aussage, Dasein sei das Ins-Werk-setzen der Zeit in zwei Aussagen, in denen einmal das Dasein Subjekt, einmal Objekt ist, nach Heidegger ungemäß bleibt. [10] Subjekt und Objekt dürfen nicht isoliert betrachtet werden.

Zeit gibt es also nur solange und sofern es Dasein gibt.

Ersichtlich kommt unsere Sprache hier an eine Grenze. Sätze sind dann korrekt, wenn sie aus einer Nominal- und einer Verbalphrase bestehen. Ein Subjekt tut etwas oder erleidet etwas. Vorbild ist der Keramiker, der aus amorphem Ton ein Gefäß formt bis hin  zur Erfindung eines Gottes, der aus Lehm Adam formt. Bei Auftreten von Regen, beschrieben durch es regnet, behilft man sich sprachlich, indem man ein Subjekt einführt, das in der Realität nicht existiert.

Es gibt offensichtlich Sachverhalte, bei denen Subjekt und Objekt nicht getrennt werden dürfen.

Ein erstes Beispiel hierfür sind die Stimmungen. Ich beschränke mich auf Stimmungen, in die Mensch und Natur getaucht sind. Nach Heidegger handelt es sich nicht um subjektive Naturerlebnisse des Menschen, von ihm in die Natur eingefühlt; es handelt sich aber auch nicht um die Natur, die den Menschen überkommt, sondern Mensch und Natur sind zumal in die Stimmung eingetaucht.

Damit in Zusammenhang steht die Naturlyrik der deutschen Romantik. Ein Beispiel aus Eichendorffs Mondnacht:

Es war als hätt der Himmel ( S)

Die Erde (O) sanft geküsst,

dass sie (S) im Sternenschimmer

nun von ihm (O) träumen müsst.

 Himmel und Erde sind hier sowohl Subjekt (S) als auch Objekt (O). Auch Dichter sind gezwungen, die Stimmungen durch Tätigkeiten eines Subjekts bezüglich eines Objekts zu beschreiben.

 Auch Hölderlin wollte die Subjekt/Objekt-Trennung überwinden, nicht nur in seiner Poesie, sondern auch in einigen theoretischen Schriften. Bekannt sind Beispiele wie die Sophokles-Übersetzung übel wohnende Hügel anstelle von übel zu bewohnende Hügel , sterbliche Gedanken (Andenken) anstelle von  Gedanken der Sterblichen, langsame Stege (Andenken) anstelle von langsam zu begehende Stege. Friedrich Beissner hält den kleinen Aufsatz Urteil und Sein für so etwas wie ein philosophisches Programm. [11] Hier führt Hölderlin das Wort Urteilung auf Ur-Teilung zurück, nämlich auf die Teilung, durch die Subjekt und Objekt überhaupt erst entstehen. Auch in einem Brief an Schiller vom 4.Sept. 1794 [12] spricht Hölderlin von intellektueller Anschauung, in der Subjekt und Objekt vereinigt wird; dies ist m.E. zu verstehen im Gegensatz zum menschlichen diskursiven Verstand im Sinne Kants. Das metaphysische Denken beruht auf einer Subjekt/Objekt-Trennung. Also steht am Anfang dieses Denkens eine Differenzbildung, gleichzeitig mit der Identität des Selbstbewusstseins, das sich gegenüber dem Lebensfluss durchhält.

Dem historischen Vorrang des Machens sollte man das Entwickeln zur Seite stellen.

Einige Beispiele mögen dies verdeutlichen. Aus einem Samenkorn entwickelt sich eine Pflanze, und doch hat der Same nicht die Pflanze erschaffen. Ein Paar erzeugt ein Kind, und doch hat das Paar das Kind nicht erschaffen. Ein Künstler schafft ein Kunstwerk, durch welches Kunst ins Scheinen kommt. Die Hölderlinsche Phrase in Dir durch Dich schildert den Schaffensprozess treffend.

Das Wort Ereignis übernehme ich von Heidegger. Ich vermute, dass es sich Heidegger aus der Zeile

Es ereignet sich aber das Wahre

aus Hölderlins  Mnemosyne zugesprochen hat. Entgegen dem normalen Sprachgebrauch verwende ich es sowohl transitiv als auch intransitiv:

1.      Wahrheit ereignet sich (kommt ins Scheinen) im Kunstwerk.

2.      Das Kunstwerk ereignet (schafft) Wahrheit.

Die Zeit ereignet sich im Dasein. Das Dasein ereignet Zeit. Die Zeit und der Mensch gehören zusammen.

 

Eine Folge der Zeitlichkeit ist, dass der Mensch Transzendenz besitzt, d.h. sich aus einer  Welt versteht.

Die Zeitlichkeit überhaupt ist der ekstatische horizontale Selbstentwurf schlechthin, aufgrund dessen die Transzendenz des Daseins möglich ist, in der die Grundverfassung des Daseins, das In-der-Welt-sein bzw. die Sorge wurzelt, die ihrerseits die Intentionalität ermöglich. [13]

 

Heidegger trennt Sein und Zeit, denkt aber immer gleich die Zeit mit, wenn er nach dem Sein fragt. Er hat dann die Schwierigkeit,  beide zu verschmelzen. Er hätte Sein und Zeit in einem Wort schreiben sollen: SeinundZeit.

Heidegger befragt ausdrücklich das Dasein nach dem Sinn des Seins. Damit ist die Zeit an den Menschen gebunden. Es stellt sich mir die Frage, ob die Transzendenz auf den Menschen beschränkt ist. Eine gewisse Transzendenz besitzt auch das mühsam vorsorgende Eichhörnchen,  Hunde mit ihrer Fähigkeit der Empathie, zwei sich umkreisende Sterne, die bezüglich der Gravitationskraft aufeinander wirken. Transzendenz ist nach Heidegger nur möglich aufgrund der Zeitlichkeit, die das Eichhörnchen und der Hund vielleicht ansatzweise besitzen, keineswegs jedoch die Sterne. Nach Heidegger besitzt nur der Mensch Transzendenz. Dagegen möchte ich doch annehmen, dass Hund und Eichhörnchen nicht autistisch leben. Wenn Heidegger ausdrücklich das Dasein nach dem Sinn des Seins befragt, bekommt er natürlich auch eine Daseins-zentrierte Antwort.

Die Zeit der Dinosaurier können wir nur von außen beurteilen, wohl aber können wir die Steinzeit beurteilen, die wir bezeichnen durch das Zeug, das die Menschen aus Stein herstellten, wie z.B. auch die Zeit der Langobarden in Oberitalien, in der die Langobarden die Machtstruktur, das tägliche Leben, die Kunst gestalteten und nicht zuletzt der Lombardei den Namen gaben. Nur ein Aspekt der Zeit der Langobarden ist das Maß des Währens. Die gestaltete Zeit ist die Zeit; es gibt keine leere ungestaltete Zeit.

9             Temporalität

Heidegger will von der Zeitlichkeit des Menschen die Temporalität des Seienden  bestimmen.

Er untersucht die Temporalität für ein Beispiel. [14] Als Seiendes wählt er das Zuhandene, als Ekstase der Zeitlichkeit die Gegenwart. Er nennt die Bedingung der Möglichkeit des Begegnens von Zuhandenheit die Praesenz, das Offensein für Begegnendes. Praesenz ist als Anwesen an einem Ort oder dessen Privation  verstanden.

Bei mir vereinfacht sich die Überlegung: weil das Dasein nur im Übergang lebt, wird Seiendes übergänglich, d.h. während. Auch ideelles Seiendes existiert nur, solange es vom Menschen konstruiert und verstanden ist.

10       Antinomien

Einige der klassischen griechischen Antinomien beruhen  auf der Annahme, man könne die Zeit, wenn auch nur in Gedanken, anhalten. Aber es gibt kein Momentanbild: alles fließt.

Zeichnen wir ein Momentanbild von einem fliegenden Pfeil, so ruht der Pfeil in diesem Moment an einer Raumstelle. Folglich ruht er auch im Ganzen. Es ist also auch als Gedankenexperiment nicht möglich, den Pfeil anzuhalten, ein Momentanbild zu zeichnen, weil der Pfeil sich nie während des Fluges an einem Ort aufhält, sondern verschwommen in Bewegung ist.

Auch beim Wettlauf des Achill mit der Schildkröte (s. Anhang A) ist die Problematik die gleiche: man darf Achill auch in Gedanken nicht aufhalten. Einen ersten Schritt zu dieser Lösung vollzieht Bergson, wenn er betont, die Schritte Achills ließen sich nicht zerlegen, sie seien ein unzerlegbares Ganzes.

Kein Mensch würde in der Physik auf den Gedanken verfallen, die Welt für einen Moment anzuhalten. Hielten wir für einen Moment den Lauf eines Planeten an, so stürzte dieser sofort in die Sonne. Er ist in jedem Moment in Bewegung.

 

 

Zitierte philosophische Literatur

 

1. Bergson, Henri: Zeit und Freiheit, Hamburg 1994

2. Heidegger, Martin: Sein und Zeit, Tübingen 1979, Sigle SuZ

3. Heidgger, Martin: Die Grundprobleme der Phänomenologie, Frankf./M. 1989, Sigle Bd.24

4. Heidegger, Martin: Der Ursprung des Kunstwerks 1935/36, in: Holzwege S.1-72, Frankf./M.1980

5. Heidegger, Martin: Zeit und Sein, in: Zur Sache des Denkens, S.1-26, Tübingen 1988

6. Lorenzen, Paul: Differential und Integral, Frankf./M. 1965

7. Thiel, C. Das Begründungsproblem der Mathematik und  der Philosophie, in: Zum normativen Fundament der Wissenschaft, Kambartel,F./ Mittelstraß,J. (Hrsg.), Frankf./M1973

 

 

 

 

Anhang:

Untersuchungen zum mathematischen Kontinuum

 

Zusammenfassung

Gegenstand der Untersuchung ist das Brouwersche Kontinuum. Das Brouwersche Kontinuum basiert auf den Begriff der freien Wahlfolge bzw. der Brouwer-Menge. Da die freie Wahlfolge nicht algorithmisch festgelegt sein muss, geht das Brouwersche Kontinuum wie das klassische Kontinuum über das Abzählbar-Unendliche hinaus. Damit die entscheidenden Sätze der Brouwerschen Analysis konstruktiv gültig sind, d.h. im Sinne von Lorenzen im Dialog gewonnen werden können, schlage ich vor, den All-Quantor für das Brouwersche Kontinuum zu verstärken. “Für jede Wahlfolge” ist schwächer als “für alle Wahlfolgen”. In der Brouwerschen Analysis ist die Antinomie des Zenon über Achill und die Schildkröte nicht formulierbar. Ein Widerspruch, der sich nach Ansicht Heytings zur klassischen Logik ergibt, läßt sich bei Verstärkung des All-Quantors vermeiden.

Abstract

Subject of the essay is the Brouwerian continuum. The Brouwerian continuum is based on the concept of  the free choice sequence or  the spread. Because the free choice sequence is not neccessarily determined by an algorithm, the Brouwerian continuum is more than denumerably  infinite. In order that the most important theorems be valid constructively, in the sense of Lorenzens dialogues, I propose to strengthen the universal quantifier for the Brouwerian continuum. "For each choice sequence" is weaker than "for all choice sequences". In Brouwerian analysis, it is not possible to formulate Zenon`s antinomy about Achilles and the turtle. A contradiction to classical logic, constructed by Heyting, can be avoided if  the strengthened universal quantifier is used.  

A1      Der Punkt/das Kontinuum bei Brouwer [15]

Brouwer definiert reelle Zahlen bzw. Punkte über Wahlfolgen. Ich gebe hier umgangssprachliche Beschreibungen seiner einschlägigen Begriffe an. [16] Eine Wahlfolge ist definiert als Element einer Brouerschen Menge (spread). Die universelle Brouwer-Menge besteht aus sämtlichen Folgen natürlicher Zahlen. Die endlichen Anfangsfolgen heißen Knoten. Ein Fächer ( fan) ist dadurch gekennzeichnet, dass an jedem Knoten nur endlich viele Fortsetzungen existieren. Lässt man als nachkommende Zahlen die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 zu, so erhält man die reellen Zahlen des Einheitsintervalls in Dezimaldarstellung, wobei “0,” unterdrückt wurde. Lässt man nur 0 und 1 als nachkommende Zahlen zu, so erhält man die reellen Zahlen des Einheitsintervalls in Dualdarstellung. Eine Brouwer-Menge muss nicht von vornherein festliegen. Brouwer führt das  creating subject ein, einen idealisierten Mathematiker, der über das mathematische Wissen seiner Zeit verfügt. Er kann z.B. schrittweise eine Brouwer-Menge erstellen, indem er auf die Lösung eines mathematischen Problems Bezug nimmt. Er arbeitet in Takten. Er könnte beispielsweise einen Fächer erstellen, indem er 0 und 1 als Nachkommen zulässt, solange ein bestimmtes mathematisches Problem nicht gelöst ist, jedoch nur noch 1 bei Lösung des Problems. In der Beschreibung von Heyting wird die Definition eines Fächers besonders einfach:

1. Ist der Fächer nicht-leer, so gehört die leere Folge zu den Knoten. [17]

2. Jeder Knoten einer Länge größer Null ist unmittelbarer Nachkomme eines erlaubten Knotens.

3. Für jeden unmittelbaren Nachkommen eines erlaubten Knotens ist entscheidbar, ob er erlaubt ist oder nicht.

4. Kein verbotener Knoten besitzt einen erlaubten Nachkommen.

Brouwer schließt ausdrücklich Rückwirkungen aus: ist die Brouwer-Menge bis zum n-ten Schritt für eine beliebige natürliche Zahl n erstellt, so kann später nichts daran geändert werden.

Nimmt man die Wahlfolge als reelle Zahl des Einheitskontinuums, so wird durch das Anfangsstück 34102 , also 0,34102, durch die durch dieses Anfangsstück gehenden Wahlfolgen klassisch ein ganzes Intervall beschrieben. Die Länge der aufeinanderfogenden Knoten konvergiert gegen Null.

Durch die Einführung des creating subject  sind die Wahlfolgen nicht notwendig algorithmisch vorherbestimmt. Betrachtete man nur die algorithmisch bestimmten Folgen, so hätte man im klassischen Sinn nur abzählbar unendlich viele Zahlen bzw. Punkte im Einheitsintervall, da sich die Algorithmen über festem Alphabet aufzählen lassen. Antinomien der Analysis sind ausgeschlossen. Hierfür entschieden sich konstruktive Mathematiker wie Lorenzen [18], wenn man von dem indefiniten All-Quantor absieht, und Aberth. [19] Nimmt man die Cantorsche Diagonalzahl hinzu, so bleibt man im Bereich des Abzählbaren. Erst bei Quantifizierung über alle möglichen Erweiterungen verläßt man den Bereich des Definiten.

Eine Schranke ist in erster Näherung eine Knotenmenge mit der Eigenschaft, daß alle Wahlfogen der Brouwer-Menge durch die Schranke gehen.

Abbildung 1: Beispiel eines Fächers mit Schranke

Für das Beispiel ist die Schrankenmenge gegeben durch .

Brouwer gibt eine ganz bestimmte natürliche Abzählung für die Knoten einer Brouwer-Menge an. Brouwer bezeichnet eine Abzählung als natürlich, wenn jeder Knoten vor seinen Nachkommen und vor seinen Nachfolgern in der Reihe der Knoten aufgeführt wird. Bei der speziellen von Brouwer angegebenen Aufzählung werden zuerst die Knoten der Länge 1 mit Konstituenten gleich 1 aufgezählt, anschließend die Knoten einer Länge kleiner oder gleich 2 mit Konstituenten kleiner oder gleich 2, die noch nicht aufgezählt wurden. Für eine beliebige natürliche Zahl n gilt: Auf die Knoten der Länge kleiner oder gleich n und Konstituenten kleiner oder gleich n folgen die Knoten der Länge kleiner oder gleich n+1 und Konstituenten kleiner oder gleich n+1, die noch nicht aufgeführt waren, nach wachsender Länge aufgezählt und die Knoten gleicher Länge lexikographisch. Die Abzählung  für die universelle Brouwer-Menge beginnt:

Bei der universellen Brouwer-Menge ist die Schrankenbedingung, wenn man die Menge gemäß der Brouwerschen Abzählung durchläuft, nicht in endlich vielen Schritten zu erhärten. Man müsste das  creating subject schon mit der Kompetenz ausstatten, stufenweise die Schrankenbedingung prüfen zu können, d.h. die unendlich vielen Knoten einer Länge zu überblicken.

Ich gebe jetzt ein  Beispiel für eine Menge, bei der die Schrankenbedingung m.E. auch bei erweiterter Kompetenz fraglich ist, obwohl es sich zweifelsfrei vom Standpunkt der klassischen Logik um eine Schranke handelt. Ich habe dieses Beispiel konstruiert, um meinen Vorschlag zu untermauern, für das klassisch Überabzählbare den All-Quantor zu verstärken.:

Gegeben sei die universelle Brouwer-Menge. Sei die Schrankenmenge gegeben durch:

S=

Jede Folge geht durch diese Schranke, denn, beginnt die Folge mit der natürlichen Zahl a1, so ist die Schranke nach a1 Schritten getroffen. Jedoch ist bei nicht-vorherbestimmter Schranke diese Eigenschaft nicht nach endlich vielen Takten zu erhärten, wenn Brouwer-Menge und Schranke stufenweise erzeugt werden.  Obwohl im Dialog nach Lorenzen der Opponent für jede vom Proponenten vorgelegte gesetzmäßige Folge die Schranke sofort angeben kann, gelingt es dem Proponenten nicht, die gesamte Schranke zu erstellen. Nach meiner Ansicht darf man den Satz

Alle Wahlfolgen gehen durch die Schranke.

nicht mehr wie üblich durch den Satz

Jede Wahlfolge geht durch die Schranke.

ersetzen. Nach meiner Auffassung ist der erste Satz intuitionistisch sinnvoll nur so zu interpretieren, dass man sich in endlicher Zeit von der Schrankenbedingung überzeugt hat, indem man alle Wahlfolgen bei der Untersuchung “berührte”.

Im normalen Sprachgebrauch wird “für alle Elemente” mit “für jedes Element” identifiziert. Das ist richtig für endliche Mengen. “Jedes Los gewinnt” ist genau dann wahr, wenn tatsächlich alle Lose Gewinne sind. Für natürliche Zahlen ist “für alle” durch das Beweisprinzip der vollständigen Induktion festgelegt, und dieses bedeutet nichts anderes als “für jedes”: so weit man auch zählt, das Induktionsprinzip gewährleistet, dass die postulierte Eigenschaft für das vorliegende Element noch gilt. Da der konstruktive Mathematiker der Auffassung ist, dass man nicht zu Ende zählen kann, ist deshalb nichts dagegen einzuwenden, den Terminus “für alle” zu verwenden, obwohl die Gesamtheit nicht vorliegt. Es handelt sich beim Prinzip der vollständigen Induktion um eine Konvention zur Festlegung des All-Quantors.

Wie beweist man “für alle” für das Kontinuum? Legt man die Brouwerschen Begriffe zugrunde, so muss man sich , da von endlichem Verstand, in endlicher Zeit von einer Eigenschaft überzeugt haben.

Die schwache Schrankenbedingung, die besagt, dass jede Wahlfolge durch die Schranke geht, möchte ich verstärken zu der Bedingung, dass sich die Schranke von der leeren Folge ausgehend sukzessive in endlich vielen Schritten  top-down erzeugen lässt. In der intuitionistischen Literatur in der Nachfolge von Brouwer ist es üblich, ein bottom-up-Verfahren, das von den Schrankenelementen ausgehend, die Beschränktheit der leeren Folge und damit aller Elemente der Brouwer-Menge nachweist, anzuwenden. Es handelt sich um die Schranken-Induktion (bar-induction). Kleene führt sie als Axiom ein, die Unabhängigkeit von den anderen Axiomen nachweisend. Mainzer zeigte, dass dieses Beweisprinzip nicht konstruktiv im Sinne von Lorenzen ist. [20] Brouwer formuliert den Schrankensatz  (bar theorem) als Lemma für den Fächer-Satz (fan theorem) für beliebige Brouwer-Mengen. Beim Fächer-Satz ist jedoch nur ein Fächer vorausgesetzt.

Auch für einen Fächer ist die verstärkte Voraussetzung m.E. wichtig, wie das folgende Beispiel zeigt. Der Fächer bestehe aus allen Folgen mit Nullen und Einsen. Man durchlaufe die Knoten nach der von Brouwer angegebenen Abzählung. Jede Folge gehe durch die Schranke. Ich bin trotzdem nicht der Ansicht, dass der Prozess nach konstruktiver Auffassung im Gegensatz zur klassischen terminieren muss. Ein Dialog im Sinne von Lorenzen ist nicht auf Grund der Form allein gewinnbar. Die Idee ist die Folgende: der Proponent kann seine Behauptung, die Schranke nach endlich vielen Schritten erstellt zu haben, nicht in jedem Fall erhärten, weil jeder Unterbaum, bis zu dem  man in der Entwicklung gelangt ist, immer noch genauso reiche Verzweigungsmöglichkeiten bietet wie der gesamte Baum. Der Opponent erstellt auf Verlangen des Proponenten sukzessive die Schranke. Der Proponent zählt die Länge der Knoten. Bei einer bestimmten Stufe z angelangt, kann der Opponent weiter expandieren, ohne dass der Proponent in der Lage wäre, eine Wahlfolge anzugeben, die nicht beschränkt wäre.

Abbildung 2: Fächer mit Schrankenelementen

Obwohl jede Wahlfolge durch die Schranke geht nach Voraussetzung, kann die Schranke für den Proponenten nicht immer in endlich vielen Schritten erstellt werden.

Ich gebe jetzt im Folgenden die Schrankenbedingung in der verstärkten Form an.

Wir betrachten jetzt einen Fächer, der das Einheitskontinuum darstelle. Bei einer Abbildung dieses Fächers in die natürlichen Zahlen muss nach Brouwer die zugeordnete Zahl schon für ein endliches Anfangsstück der Wahlfolge feststehen. Diese Anfangsstücke bilden eine Schranke. Wir machen die verstärkte Voraussetzung, die verstärkte Schrankenbedingung sei erfüllt, d.h. die Schranke lässt sich in endlich vielen Schritten erstellen. Dann lässt sich konstruktiv folgern, d.h. zum Beispiel ein Dialog im Sinne von Lorenzen gewinnen, dass es eine natürliche Zahl z gibt derart, dass nach einem Anfangsstück der Länge z der zugeordnete Wert feststeht.

Eine Folgerung dieses Satzes ist, dass jede volle Funktion stetig ist.  Dieser Beweis lässt sich konstruktiv führen.

A2      Kann Achill die Schildkröte im Brouwerschen Kontinuum überholen?

Das Sophisma des Zenon über Achill und die Schildkröte zeigt, dass Achill die Schildkröte nicht überholen kann, sobald wie folgt Markierungen vorgenommen werden: hat die Schildkröte beim Start ein Stadion Vorsprung vor Achill und läuft Achill doppelt so schnell wie sie, so hat die Schildkröte schon wieder ein halbes Stadion Vorsprung, wenn Achill an ihrem ersten Standort angekommen ist; hat Achill dies halbe Stadion durchlaufen, so hat die Schildkröte ein Viertel Stadion Vorsprung etc.. Selbstverständlich konvergieren diese Strecken gegen den tatsächlichen Überholpunkt bei 2 Stadien, jedoch hat Zenon nach Aristoteles mit seiner Argumentation recht: sobald man, wie oben angegeben, markiert, und sei es auch nur in Gedanken, hat man eine aktuale Unendlichkeit von Zeitpunkten zu durchlaufen, und Achill kann die Schildkröte nicht überholen.

 

Abbildung 3: Markierung nach Zenon

Das leistungsfähige Modell des klassischen mathematischen Kontinuums kommt hier an eine Grenze. Das klassische Kontinuum besteht aus einer Menge diskreter Punkte, die das Fließende unseres intuitiven Zeitbegriffs schlecht erfasst. Nimmt man an, man könne eine aktuale Unendlichkeit von Punkten durchlaufen und definiert man den Grenzwert als letztes Glied der Folge, eine allgemein nicht mehr akzeptierte Auffassung, für die hier keineswegs plädiert werden soll, so wird der Widerspruch vermieden.

Es stellt sich die Frage, ob das Sophisma des Zenon im Brouwerschen Kontinuum formulierbar ist.

Abbildung 4: Darstellung im Binärbaum

Die Schildkröte hat zuerst 1 Stadion Vorsprung. Ist Achill dort angelangt, so befindet sich die Schildkröte dual bei 1,1 Stadien. Ist Achill dort angekommen, so befindet sich die Schildkröte dual bei 1,11 Stadien, usw. Diese Werte konvergieren gegen 1, =102 =210 . Zunächst sieht es so aus, als könne man im Binärbaum genauso argumentieren wie oben. Dies hat jedoch eine Grenze, weil die Schranke, die die Information liefert, nach Brouwer endlich-erzeugt ist, d.h. dass man nicht beliebig weiter markieren kann.

Wir nehmen an, es gäbe eine natürliche Zahl no derart, dass man nach no Einsen wisse, dass Achill die Schildkröte für alle Pfade durch 1,1...12 (no Einsen) noch nicht überholt habe. Das würde implizieren, dass er sie auch nicht nach 1,  Stadien überholt habe. Dann dürfte man 1, 2 nicht mit 102 identifizieren. Verzichtet man nicht auf die übliche Identität von 1, 2 mit 102 und nimmt man ferner an, es gäbe eine natürliche Zahl n1 derart, dass für alle Pfade durch 10,0...02 (n1 Nullen) der Überholvorgang abgeschlossen sei, so ergibt sich ein Widerspruch.

Ich setze voraus, der Begriff der Funktion sei angemessen zur Beschreibung des Überholvorgangs. Aus intuitionistischer Sicht gibt es keine Funktion, die den Wert Null annimmt vor dem Überholen und sonst den Wert 1 annimmt, denn nach Brouwer ist grundsätzlich eine Funktion, die für ein gegebenes wie folgt definiert ist:

nicht für alle Elemente einer Umgebung von a definiert, da die reellen Zahlen aus intuitionistischer Sicht nicht total geordnet sind.

Die Funktion

ist in einer Umgebung von 2 nicht überall definiert. So lässt sich der obige Widerspruch vermeiden. Durch das Herausgreifen des Überholpunktes zerstört man das Kontinuum. Da das klassische Kontinuum aus isolierten Punkten besteht, fällt dort die Zerstörung des Kontinuums durch Markierungen nicht auf. Um das Kontinuum in den Griff zu bekommen, nimmt der Intuitionist darauf Bezug, dass die Mathematik von Menschen geschaffen wird und dass ihre Konstruktionen auf einer endlichen Informationsmenge basieren. Das Kontinuum ist eine Intuition, bei der die klassische mathematische Beschreibung unzureichend erscheint.

Zusammenfassend und ergänzend ergibt sich:

Die klassische Einführung der reellen Zahlen bringt Probleme mit sich. Führt man die Menge der reellen Zahlen axiomatisch ein, so postuliert man ein Vollständigkeitsaxiom, das z.B. besagt, dass mit jeder konzentrierten Folge reeller Zahlen auch der Grenzwert zur Menge gehört. Nach Cantor erhält man bekanntlich überabzählbar unendlich viele Elemente. Man gelangt jedoch über den Bereich der definiten Aussagen hinaus. Lorenzen zeigte, dass jede definite Erweiterung der rationalen Zahlen unvollständig ist. [21] Definite Erweiterungen der rationalen Zahlen, wie man sie durch Adjunktion des Grenzwerts einer konzentrierten Folge oder durch Adjunktion der Diagonalzahl einer Abzählung erhält, führen nicht über den Bereich des Abzählbar-Unendlichen hinaus. Indefinite Quantifizierungen sind problematisch, weil sie zu imprädikativen Begriffsbildungen der nicht harmlosen Art führen können, die nach Thiel für die Antinomien verantwortlich sind.

Beschränkt man sich aus diesem Grund auf definite Erweiterungen der rationalen Zahlen, so entgeht man dieser Gefahr, bleibt jedoch im Abzählbar-Unendlichen.  In der berechenbaren Analysis nach Aberth und in der konstruktiven Analysis nach Lorenzen, allerdings ohne Verwendung des indefiniten All-Quantors, hat man nur algorithmisch gegebene Folgen natürlicher oder rationaler Zahlen, die nicht vollständig sind. Lorenzens indefiniter All-Quantor, der sich auf alle möglichen Erweiterungen bezieht, bleibt vage, weil jede endliche Erweiterung –und wie sollte ein Mensch eine unendliche Erweiterung konstruktiv vollziehen können?– im Algorithmischen und damit unvollständig bleibt.

Bei Brouwer braucht man, um Aussagen machen zu können, den verstärkten All-Quantor, da man sich auf endliche Informationsmengen zu beschränken hat. Mein Vorschlag, den All-Quantor für das Kontinuum zu verstärken, ist in Übereinstimmung mit Beths semantischer Interpretation der intuitionistischen Logik. [22]

Also ist das Kontinuum wegen des begrenzten menschlichen Auffassungsvermögens nur als Potentielles denkbar. Brouwer hat jedoch ein Werkzeug, um exakte Aussagen machen zu können.

Ein Nachteil bei Brouwer wäre, dass es keine unstetigen Funktionen gibt, nur stetige Funktionen mit eventuellen Definitionslücken. Damit wird die klassische Mathematik mit ihren unstetigen Funktionen zu einer Idealisierung. Realistischer ist Brouwer. Nehmen wir als Beispiel die unstetige Änderung des Brechungsindex beim Übergang von einem Medium in ein zweites von unterschiedlicher Brechbarkeit, so ist die Grenzfläche, genau genommen, nicht scharf definiert.

A3      Ein Beispiel von Heyting für eine aus seiner Sicht falsche, klassisch richtige Implikation

Heyting [23] behauptet, dass die folgende klassisch gültige Implikation aus intuitionistischer Sicht falsch sei:

Heytings Gegenbeispiel sei kurz beschrieben. Die Brouwer-Menge M bestehe aus allen Folgen von Nullen und Einsen, bei denen eine 1 nur von einer 1 gefolgt sein kann. Das Gesetz  ordnet gewissen Elementen von M natürliche Zahlen wie folgt zu:

Der Folge 1, die nur aus Nullen besteht, ist die Zahl 1 zugeordnet. Hat n+2 n Nullen (n ), gefolgt von Einsen, so sei n+2 zugeordnet.

p(x) sei die Aussage:  ordnet x ein Element zu. Heyting behauptet nun, die linke Seite der Implikation sei gültig, die rechte nicht.

Er prüft zunächst die linke Seite durch Nachweis der äquivalenten Aussage

,

indem er einen Widerspruch zu  herleitet. Er nimmt an, es gäbe ein x, dem kein Wert zugeordnet sei. Nun kann x nicht gleich 2 sein, denn dann wäre 2 zugeordnet, auch nicht gleich 3, 4 usw., also könne die Wahlfolge nur aus Nullen bestehen. Dann ist aber der Wert 1 zugeordnet. Dies ergäbe einen Widerspruch.

Nun wendet er sich der rechten Seite zu, indem er  nachweist durch Annahme von  . Nach dem Fächer-Theorem existiert dann eine Zahl z, so dass für alle Knoten der Länge z die Zuordnung feststehen muss, was offensichtlich der Definition widerspricht. Die linke Seite ist also richtig, die rechte falsch. So weit der Heytingsche Beweis.

Interpretiert man die Implikation, indem man auf beiden Seiten nur über algorithmisch gegebene Folgen quantifiziert, so kommt kein Widerspruch zustande, da das Fächer-Theorem bei Quantifizierung über algorithmisch gegebene Folgen falsch wird, wie Kleene nachwies [24], und deshalb auf der rechten Seite nicht angewendet werden kann.

Der All-Quantor werde jetzt wie von mir vorgeschlagen interpretiert. Die rechte Seite wird nach dem Fächer-Theorem falsch, aber auch die Prämisse auf der linken Seite lässt sich nicht mehr beweisen.    heißt bei starker Quantifizierung, dass es einen Takt z gibt, an dem das creating subject sich für alle Wahlfolgen x, die es bis zur Länge z durchlaufen habe, überzeugt hat, dass es falsch ist, dass ihnen kein Funktionswert zugeordnet ist. Nun ist im Takt z aber den durch den Knoten (0,...,0) (z Nullen) gehenden Wahlfolgen noch kein Funktionswert zugesprochen, jedoch auch keiner abgesprochen.

Folglich gelangt man zu dem Ergebnis, dass auch die linke Seite zu keinem Takt z realisiert werden kann. Bei meiner Interpretation des All-Quantors wird der Widerspruch zur klassischen Logik also vermieden.

Zum Heytingschen Beweis: [25]

Wie weist Heyting

zurück? Es werden die abzählbar unendlich vielen Elemente der Brouwer-Menge durchlaufen in folgender Weise

Interessanterweise wurden die Werte, wie oben beschrieben, in anderer Reihenfolge zugeordnet.

Heyting stattet den Mathematiker mit der Kompetenz aus, die Gesamtheit

1...

01...

001...

0001...

...

zu durchlaufen wie Zenon beim erwähnten Sophisma und anschließend noch das Element 0000.... zu betrachten. Nur so kann ein Widerspruch erreicht werden. Dass man eine unendliche Gesamtheit durchläuft und hinterher noch ein weiteres Element betrachtet, scheint mir von einem konstruktiven Standpunkt aus unakzeptabel zu sein. Ich meine, dass dies die einzige zulässige Interpretation im Sinne Heytings ist, denn durchläuft man die unendliche Gesamtheit nicht, sondern geht, wie bei diesem Beispiel möglich, algorithmisch vor, indem man die Zuordnung für die Wahlfolgen

grundsätzlich vornimmt, so beschränkt man sich auf vorherbestimmte Wahlfolgen, was nicht nur den Begriff der freien Wahlfolge desavouierte, sondern nach Kleene auch dazu führte, dass das Fächer-Theorem falsch würde. So ließe sich also kein Widerspruch erzeugen.

Der Widerspruch lässt sich vermeiden, wenn man auf beiden Seiten klassisch oder auf beiden Seiten intuitionistisch stark quantifiziert.

   

Als Vorzüge des verstärkten All-Quantors ergeben sich:

1.) Man geht über das klassisch Abzählbare hinaus, ohne sich ins Indefinite zu begeben.

2.) Das Sophisma des Zenon über Achill und die Schildkröte ist nicht formulierbar.

3.) Ein Widerspruch, der sich nach Interpretation Heytings zur klassischen Logik ergibt, ist nicht mehr herleitbar.

 

 

Zitierte Literatur

 

 

  1. Aberth. O: Computable Analysis, New York 1980
  2. Beth, E.W.: The Foundations of Mathematics-A Study in the Philosophy of Science, Amsterdam 1959
  1. Brouwer, L.E.J.: Points and Space, in. Heyting,A. (Hrsg.): L.E.J. Brouwer-Collected Works Bd.1, Amsterdam-New York-Oxford 1975
  2. Gunderson, D.: Untersuchungen zur Konstruktivität des Bar-Theorems, Diss. Hamburg 1990

5.      Heyting, A.: Intuitionism-An Introduction, Amsterdam 1980

  1. Kleene, S.C. u. Vesley, R.E.: The Foundations of Intuitionistic Mathematics, Amsterdam            1965
  2. Kleene, S.C.: Recursive Functions and Intuitionistic Mathematics, in: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge 1950
  3. Kleene, S.C.: A Symmetric Form of Gödel´s Theorem, in: Indag. Math.12, 1950
  4. Lorenzen, P.: Differenzial und Integral, Frankf./M. 1965
  5. Mainzer, K.: Is the Intuitionistic Bar-Induction a Constructive Principle?, in: Notre Dames Journal of Formal Logic 18, S. 583-588, 1977

 

[1] SuZ, S.391

[2] SuZ 409 

[3] Lorenzen, P.: Differential und Integral, Frankf./M. 1965 

[4] Thiel, C.: Das Begründungsproblem der Mathematik und der Philosophie, in: Zum normativen Fundament der Wissenschaft, Kambartel, F./ Mittelstraß, J. ( Hrsg.), Frankf/M. 1973

[5] Goethe, Johann Wolfgang v.: Vermächtnis

[6] Keller, Gottfried: Die Zeit geht nicht 

[7] Busch, Wilhelm: Julchen 

[8] Heidegger, M.: Zeit und Sein, in: Zur Sache des Denkens, Tübingen 1988 

[9] Der Ursprung des Kunstwerks ( 1935/36), in: Holzwege S.1-72 

[10] a.a.O. S.71

[11] Beissner, Friedrich (Hrsg.): Hölderlin-Sämtliche Werke, Bd .IV, Erläuterung S.319f zu 226f, Stuttgart 1962 

[12] Beissner, a.a.O., Bd.IV,  S.181 

[13] Bd.24, S.444

[14] Bd.24, S.431-445

[15] Brouwer, L.E.J., Points and Spaces, in: Heyting,A.(Hrsg.), 1975, L.E.J.Brouwer-Collected Works Bd.1, Amsterdam-New York-Oxford

[16] Bezüglich der mathematisch exakten Beschreibung  der folgenden Darlegungen verweise ich auf Gunderson, D., 1990, Untersuchungen zur Konstruktivität des Bar-Theorems , Diss. Hamburg  ; ferner auf die Standardliteratur zu dem Thema: Heyting, A., Intuitionism-An Introduction, Amsterdam, Kleene,S.C. u.Vesley, R.E., 1965, The Foundations of Intuitionistic  Mathematics, Amsterdam 

[17] Brouwer kennt die leere Folge nicht, beginnt also mit den Folgen der Länge 1 zur Erstellung des Fächers. 

[18] Lorenzen, P., 1965, Differential und Intergal, Frankfurt/M.

[19] Aberth, O. 1980, Computable Analysis, New York

[20] Mainzer, K., 1977, Is the Intuitionistic Bar-Induction a Constructive Principle? In: Notre Dame Journal of Formal Logic 18, S. 583-588

[21] Lorenzen a.a.O.S.53f.

[22] Beth, E W., 1959, The Foundations of Mathematics- A Study in the Philosophy of Science, Amsterdam

[23] Heyting 1980, S.108 f

[24] Kleene, S.C.: Recursive Functions and Intuitionistic Mathematics , S.683f., in: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1950, Cambridge Mass., S.679-685; Kleene , S.C.,1950, A Symmetric Form of Gödel´s Theorem, in: Indag. Math.12, S.244ff.; Kleene/Vesley, a.a.O. S.471 u.S.112

[25] Zur genaueren Untersuchung s. meine Diss. S.99-102

 

Die Autorin Dörte Gunderson wurde am 14.9.37 in Hamburg geboren. Schulbesuch in Hamburg. Studium der Mathematik, Physik und Philosophie in Tübingen und Hamburg. Staatsexamen in Mathematik und Physik, später Promotion in Philosophie. 30 Jahre Lehrerin für Mathematik und Physik an Gymnasien in Hamburg.

Veröffentlichungen:

  1. Untersuchungen zur Konstruktivität des Bar-Theorems (Brouwer 1954), Diss. Hamburg 1990
  2. Denken wie der Wald- von Stifter zu Heidegger. Untersuchungen zu Heideggers Denken. Frankfurt/M. 1995.